[3B1B] 푸리에 변환의 시각적 설명 (식을 시각적으로 이해)

우리가 생활 속에서 듣는 소리는, 여러 소리 파동의 중첩이다. 

피아노를 생각해보면, C D E F G A B 등의 노트는 각각 고유의 진동수(Frequency)를 가지고 있고, 여러 노트가 섞이며 복잡한 파형의 음악이 만들어진다.

궁금증한 점은, 이렇게 섞여버린 음파를 다시 분해할 수는 없을까?

마치 섞여버린 페인트를 다시 분리시키는 작업?

 

저자(동영상 제작자 3B1B)는 이색적인 설명으로 '각 음파를 Frequency-domain에서 표현했을 때, 고유한 peak를 가진다'를 시각적으로 보여준다.

 

아이디어) 파형의 일부분을 잘라서 좌표평면에 원처럼 둘러서 붙힌 뒤 (wind-up the graph around the circle), 그 파형의 'center of mass'를 그래프에 표시해서 시각화한다. (실제 무게중심은 아니고, 그냥 그렇게 생각하자는 것)

 

파형을 얼마만큼 잘라서 원 한 사이클로 붙일건지에 따라 center of mass의 위치도 계속 바뀐다 (영상 확인)

- 많이 자르면? 원 전체를 도는데 매우 오래 걸림. cycles/sec ↓

- 적게 자르면? 조금만 돌아도 원 한바퀴 돎. cycles/sec ↑

 

이 무게중심의 x좌표가 Frequency(=cycles/sec)가 변함에 따라 어떻게 움직이는지 그래프로 표현하면 (오른쪽 아래),

놀랍게도 원래 파형의 진동수와 우리가 선택한 진동수가 같아질 때 (그림에선 3), 좌표평면의 파형이 조화를 이루며 무게중심도 오른쪽으로 쏠리게 된다 (peak).

다른 음으로 해봐도 같은 결과를 얻을 수 있다.

 

놀라운 점은, 두 음파를 섞은 복잡한 파형에 같은 방법을 적용할 시,

2와 3에 각각 피크가 나타난다는 사실.

즉, 두 신호를 각각 transform한 뒤 합한거나, 두 신호를 합친 뒤 transform한거나 같다는 속성을 보인다는 뜻.

선형성(Linearity)의 additivity 특성을 생각하면 쉽다.

$f(x+y) = f(x) + f(y)$

 

즉, 섞여버린 음악도 frequency-domain으로 보내, peak를 분석하면 어떤 음이 섞여있는지 알 수 있다는 점이다.

 

놀라운 점은, inverse Fourier transform이라는게 있어서, 특정 주파수 대를 제거한 음파도 얻을 수 있다는 것 (소리에서 노이즈 제거 등 기술에 사용) 

 

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지금까지는 시각화를 통해 개념을 설명하고자 만든 모델이었고, 이제 실제 푸리에 변환 식을 이해할 차례다.

 

복소평면 상에서 $e^{ix}$꼴의 식은 원을 그린다는 것을 저번 '오일러 등식' 편에서 잘 이해했다.

(* 기본은 counter-clockwise지만, 지수에 - 붙이면 clockwise로 움직임)

 

이 원을 그리는 식에 우리의 음파를 나타내는 함수(시간에 대한 파동)를 곱하면?

위에서 'Almost-Fourier transform' 시각화를 위해 했던 짓과 똑같다!

(음파를 잘라서 원에 두르는식으로 붙인 것)

 

그 다음에 우리가 뭘 했던가.

바로 center-of-mass를 구한 뒤, frequency가 달라짐에 따라 위치가 어떻게 바뀌는지 봤었지.

위 식으로 나타내면 다음과 같다.

(파동에서 여러 지점의 값을 샘플링해서 평균낸 것. 샘플링할 값의 수를 쭉 (무한대까지) 늘려서 결국엔 적분)

Center-of-mass of a wound-up graph를 구하는 식

 

다만 실제 푸리에 변환에선 $\frac{1}{t_2 - t_1}$ 부분이 없는데, scaling 때문에 그런 거라고 설명하네.

peak가 나타나는 frequency에선 값이 크게, 나머지 freq에선 작게 나오게 하기 위해? (잘 모르겠음) 

 

결론 : 시간에 대한 파동 g(t)를 푸리에 변환하면, Frequency에 대한 복소수 $\hat{g}(f)$를 얻을 수 있다.

요놈의 실수, 허수 부분을 그려서 어느 주파수에서 peak가 나타나는지 알아내 원래 파동을 분해할 수 있다.

식 설명 : 지수함수는 원 그리기, g(t) 곱해주는건 graph winding around circle, 적분은 무게중심 구하기