오일러 등식 $e^{\pi i} + 1 = 0$

$e^{\pi i} + 1 = 0$

수학자들이 보기에 가장 아름답다고 느끼는 등식. 도대체 왜?

 

일단, 직관적으로 느끼기에, 식이 정말 간결하고 깔끔하다. 

그리고, 수학을 이루는 핵심 요소들이 다 모여서 하나의 식을 이루는게 아름다워 보이긴 하다.

자연 상수 e, 원주율을 뜻하는 $\pi$, 복소수 i, 실수 1이 모두 모여 하나의 관계를 이룬다는 부분이

마치 수학계의 드림팀을 보는 듯 하다.

 

특히, 복소수 부분은 우리가 현실 세계에서 실물로 접할 일이 없다보니 (쓰이지 않는다는게 절대 아니다), 굉장히 낮설다. 그래서 그런지, '복소수 i를 실수들과 함께 여러 가지 연산을 했더니 실수 0이 되더라'라는 부분이 놀라운 것 같다.

 

 

다음 영상을 보고 공부했고, 관련 내용들을 정리한 포스트

출처 : https://youtu.be/kgTSUZjVqas

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오일러 등식의 진가는 단순히 외형의 특이함에서 끝나지 않는다.

이 등식이 어떻게 만들어졌는지 유도 과정을 공부함으로써 오일러 등식 속에 숨겨진 진주를 찾을 수 있다.

 

먼저, $e^{\pi i} + 1 = 0$ 를 '자연 상수 e를 ${i \pi}$번 곱하면 -1이 된다' 라고 해석해볼 수 있을까?

아니, 복소수 i번 곱하는게 현실 세계에서 불가능한 일이므로 표현 자체에 오류가 있음을 말하고 싶다.

 

유도 과정은, $f'(x) = f(x)$ 라는 미분 방정식을 푸는 것에서 시작한다. 

이 미분 방정식을 풀면 $y = f(x) = e^x$ 라는 지수함수를 얻을 수 있다.

식이 자연 상수로 깔끔히 나오다니, 벌써부터 가슴이 웅장해진다.

 

우리가 알고 있는 오일러 등식 $e^{\pi i} + 1 = 0$ 에는 허수 i가 있었으므로,

이제 위 미분 방정식에 복소수 추가한 형태 $f'(x) = i*f(x)$ 를 한번 풀어보자.

유도 과정을 모두 생략했지만, 진짜 i가 x 옆에 추가되는 것 밖에 없다

 

$e^{ix}$에 대한 식은 직관적으로 파악이 힘든 식이다.

그래서, 복소평면(complex plane)으로 가지고 가서 저 식이 기하학적으로 어떻게 표현되는지 살펴보자.

미분의 정의

 

$f(x) = e^{ix}, f'(x) = if(x)$

$f(x+ \triangle x) = f(x) + if(x) \triangle x$

$e^{i(x + \triangle x)} = e^{ix} + ie^{ix} \triangle x$ 

식을 복소평면 위의 벡터로 해석해보니, 원을 나타내더라 (영상 30분 부근부터 보기; 매우 잘 설명함)

복소수의 성질 2가지

1. 두 복소수 a1 + i*b1, a2 + i*b2 를 더하는 것은 복소평면 상에 나타나는 벡터 둘을 더하는 것과 같다

(= 화살표 2개 이어붙이기)

2. 복소수 a + ib에 i를 곱해주는 건, 해당 벡터의 길이를 유지한 채로 90도 시계방향 회전하는 것과 같다

 

이 두 가지 성질을 이용해서 복소 평면에서의 $ e^{ix}$를 그려보면, 놀랍게도 원이 나타난다.

즉, '위 그림 빨간색으로 색칠한 미분 방정식 = 복소 평면에서 원을 그리는 코드' 라는 것

 

본 포스트에선 유도 과정을 다 생략했지만 (영상을 통해 확인하길 바람),

x가 부채꼴의 호에 해당하고, 반지름 1인 단위원이므로 부채꼴의 각도 또한 x가 된다.

 

그리고, $ x = \pi $ 일때 드디어 대망의 오일러 등식이 등장한다.

즉, 복소 평면 상의 단위원에서 $\pi$ 만큼 회전했을때의 값을 의미한다.

정리하자면 오일러 등식은,

- 미분 방정식 $f'(x) = i*f(x)$ 풀었을 때 매우 깔끔한 형태의 자연 상수를 밑으로 하는 지수 함수가 나온다

- (복소수 지수이므로 복소 평면에서 표현) 이 식은 복소 평면 상에서 단위원을 그린다

 

이제 오일러 등식이 감추고 있는 비밀을 알아볼 차례가 되었다.

우리가 모두 잘 알다시피, 원은 '주기'를 가지고 있다. 360도 돌리면 다시 원래대로 돌아온다.

오일러 등식이 나타내는 기하학적 모형을 실수 x-y plane + 허수부 i 로 나타내어지는 3차원 공간에서 표현해보면,

놀랍게도 주기를 이루는 스프링 형태의 그래프를 이룬다는 것을 볼 수 있다!

 

이걸 실수 평면을 내려다보는 방향으로 정사영 시키면, 놀랍게도 우리가 잘 아는 sin/cos 함수가 나타난다.

오일러 등식의 general case인 '오일러 공식 $e^{ix}= cosx + i sinx $ ' 에서 나타나듯이,

$ e^{ix}$는 실수부와 허수부가 각각 cos, sin 함수로 나타내어지는 주기함수다.

 

우리 주변에서 접할 수 있는 수 많은 현상들 또한 주기를 가지고 있다.

그리고, 이 주기는 대부분 (아니면 모두?) 오일러 공식 형태로 표현될 수 있다.

 

추의 진자운동, 라플라스/푸리에 변환, 양자 역학, .....

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나도 circuit analysis 수업에서 sin/cos 형태로 나타나는 신호를 분석할 때 오일러 공식을 많이 썼다.

그때도 그냥 '주기성을 가지는 sin, cos에 복소수를 추가해서 잘 버무리면 자연 상수 지수 함수가 나오는구나' 정도로만 이해했는데, 이런 비밀이 숨어있었다. 

 

솔직히 이런거 몰라도 사는데 지장 없을 것 같지만,

아는게 힘인 만큼, 알아서 나쁠 건 없다고 생각한다.

 

 

$ e^{ix} $는 주기함수다.

오일러 등식은 실수-복소수를 이어주는 징검다리로서, 주기함수를 나타내는 일종의 코드다.

 

 

 

 

 

이건 오일러 등식을 간단하게 물리학적 관점 (위치 미분하면 속도)에서 해석해서 그래프로 설명하는 영상.

간단하게 이해되긴 하는데, 확실히 직접 유도함으로써 얻는 insight보다는 덜한 듯. 

www.youtube.com/watch?v=v0YEaeIClKY